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Fiche de cours

L'aventure des nombres entiers

The adventure of integers

Faculté de gestion: Sciences au carré

Responsable(s): Dominique Arlettaz

Période de validité: 2017 ->

Horaires du cours (Hebdomadaire)

Date Lieu Remarque Thématique Intervenant(s)
2019/2020 : Vendredi 08:30-10:00 (Hebdomadaire) Anthropole/2120     Audrey Loetscher

Cours-Séminaire

Semestre d'automne
2 heures par semaine
28 heures par semestre
Hebdomadaire
Langue(s) d'enseignement: français
Public: Oui
Crédits: 2.00, 3.00

Objectif

- Comprendre le premier outil - et le plus simple - indispensable à toute démarche scientifique : la notion de nombre entier qui permet depuis l'origine de l'humanité de compter, de numéroter et de classer,
- Prendre la mesure de l'ampleur et de la diversité des mathématiques et des innombrables liens entre les différents domaines des mathématiques,
- Exercer sa curiosité avec des problèmes que l'on peut formuler de manière très simple mais dont la solution peut s'avérer extrêmement compliquée, voire inconnue à ce jour,
- Découvrir certaines notions de base des mathématiques et comprendre des raisonnements mathématiques simples mais rigoureux, qui permettent de démontrer quelques théorèmes mathématiques fondamentaux,
- Constater le fait que les progrès majeurs en mathématiques sont toujours le fruit d'une collaboration de plusieurs chercheurs et font appel à de nombreuses notions mathématiques,
- Suivre l'évolution historique d'un des grands problèmes mathématiques, la résolution de la Conjecture de Fermat, qui a tenu en haleine le monde des mathématiciens pendant plus de trois siècles, jusqu'à son dénouement en 1995.

Contenu

Le cours sera composé de trois chapitres :
- Les nombres premiers : le premier chapitre présente les ensembles de nombres, la définition des nombres premiers, les principales propriétés des nombres premiers, ainsi qu'une application à la théorie du codage.
- Les nombres complexes : le deuxième chapitre présente la définition des nombres complexes et du plan de Gauss, la résolution de certaines équations complexes, les entiers de Gauss et la fonction exponentielle complexe.
- Le dernier théorème de Fermat: le troisième chapitre présente l'énoncé et l'histoire de la résolution du dernier théorème de Fermat (énoncé en 1637 par Pierre de Fermat et démontré en 1995 par Andrew Wiles) et permet de suivre - comme dans un roman policier - les innombrables efforts qui ont été déployés à travers les siècles pour arriver à élucider ce mystère.

Evaluation

- Contrôle continu sous la forme de deux tests de connaissance (60 minutes),
- Un exposé de séminaire portant sur le compte-rendu de la lecture d'une partie d'un ouvrage en lien avec le sujet du cours ou sur tout autre sujet déterminé d'entente entre l'étudiant et l'enseignant.

Bibliographie

Simon Singh : Fermat's enigma : the epic quest to solve the world's greatest mathematical problem (Walker, 1997)

Marcus du Sautoy : La symphonie des nombres premiers (Ed. Héloïse d'Ormesson, 2005)

Etienne Barilier : Leonhard Euler, la clarté de l'esprit, collection "Savoir suisse", volume 132 (PPUR, 2018)

Al Cuoco et Joseph J. Rotman: Learning modern algebra : from early attemps to prove Fermat's last theorem (Mathematical Assoc. of America, 2013)

Paulo Ribenboim : The book of prime number records (Springer, 1989)

Paulo Ribenboim : The little book of big primes (Springer, 1991)

Paulo Ribenboim : My numbers, my friends, popular lectures on number theory (Springer, 2000)

Murray R. Spiegel : Variables complexes - Série Schaum (McGraw Hill, 1977 / 1993 / 2009)

Lars V. Ahlfors : Complex analysis (McGraw Hill, 1979)

Stephen D. Fisher : Complex variables, 2nd edition (Dover publications Inc., 1999)

Albert Violant i Holz : L'énigme de Fermat, trois siècles de défi mathématique ; Collection "Le monde est mathématique", Institut Henri Poincaré (2013), Volume 8

Harold M. Edwards : Fermat's last theorem, a genetic introduction to algebraic number theory (Springer, 1977 / 2000)

Alf J. Van der Poorten : Notes on Fermat's last theorem (John Willey, 1Alf J. Van der Poorten : Notes on Fermat's last theorem (John Willey, 1996)

Paulo Ribenboim : Fermat's last theorem for amateurs (Springer, 1999)

Ian Stewart et David Tall : Algebraic number theory and Fermat's last theorem (CRC Press, 2016)

Andrew Wiles : Modular elliptic curves and Fermat's last theorem; Annals of Mathematics, vol. 141 (1995), 443 - 551

Richard Taylor and Andrew Wiles : Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras; of Mathematics, vol. 141 (1995), 553 - 572

Exigences du cursus d'études

Aucun, si ce n'est les connaissances de base en mathématiques correspondant au niveau de la maturité gymnasiale.
Ce cours peut être suivi de manière complètement indépendante du second enseignement de mathématiques donné dans le cadre du programme "Sciences au carré" au semestre de printemps.

Conditions d'octroi

NB: Les crédits correspondants à cet enseignement ne peuvent pas être validés pour les étudiant·e·s de FGSE

UtilisationCode facultéStatutCrédits
"Sciences des religions" 60 crédits ECTS, 2ème partie (2013 ->) ›› Divers - ATT-SR-2-5040Optionnel3.00
"Sciences des religions" 60 crédits ECTS, 2ème partie (2017 ->) ›› Divers - ATT60-SR-2-5040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en Sciences des religions, 1ère année (2013 ->) ›› Divers - BA-SR-1-4040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en Sciences des religions, 2ème et 3ème année (2013 ->) ›› Divers - BA-SR-2-5040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en sciences des religions, 1ère année (2017 ->) ›› Divers - BA-SR-1-4040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en sciences des religions, 2ème et 3ème année (2017 ->) ›› Divers - BA-SR-2-5040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en sciences sociales, 2ème partie (2013 ->) ›› Sous-module sciences sociales : cours à choix, majeure sciences sociales, 2e partieOptionnel3.00
Biologie - Etape 2 : Modules 2 à 7 : 2e et 3e années (2012 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Enseignements supplémentaires (Bachelor) (2005 ->) ›› Enseignements supplémentaires (Bachelor)Facultatif2.00
Mineure en physiologie SSP, 2ème partie (2016 ->) ›› Enseignements optionnelsOptionnel2.00
Mineure en psychologie et ouverture à l'interdisciplinarité, 2e partie (2011 ->) ›› Sous-module regroupements disciplinaires Sciences physiques, Sciences de la vie, mineure en psychologie et ouverture à l'interdisciplinarité, 2e partieOptionnel3.00
Mineure en sciences des religions, 2ème partie (2013 ->) ›› Divers - MIN-SR-2-5040Optionnel3.00
Mineure en sciences des religions, 2ème partie (2017 ->) ›› Divers - MIN-SR-2-5040Optionnel3.00
Mineure psychologie et sciences humaines, 2e partie (2005 ->) ›› Sous-module 1, module enseignements à choix, mineure en psychologie et sciences humaines, 2e partieOptionnel3.00
Mineure « Religions, langue et textes », 2ème partie (2013 ->) ›› Divers - MIN-RLT-2-3040Optionnel3.00
Mineure « Religions, langue et textes », partie propédeutique (2013 ->) ›› Divers - MIN-RLT-1-3040Optionnel3.00
Programme à option "transitoire", 2ème partie (2013 ->) ›› Sciences au carré - BA-OP-SC2-TOptionnel3.00
Programme à options, 2ème partie (2013 ->) ›› Sciences au carré - BA-OP-SC2Optionnel3.00
Préalable Master Biologie médicale (1971 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Préalable Master Comportement, Evolution et Conservation (2004 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Préalable Master Sciences moléculaires du vivant (2011 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Préalable à la Maîtrise universitaire en Sciences des religions (2013 ->) ›› DiversOptionnel3.00
Préalable à la Maîtrise universitaire en Sciences des religions (2017 ->) ›› DiversOptionnel3.00
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