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Fiche de cours

La quête de l'infini en mathématiques

The quest for the infinity in mathematics

Faculté de gestion: Sciences au carré

Responsable(s): Dominique Arlettaz

Période de validité: 2017 ->

Horaires du cours (Hebdomadaire)

Date Lieu Remarque Thématique Intervenant(s)
2020/2021 : Vendredi 10:15-12:00 (Hebdomadaire) Anthropole/2120 Enseignement à distance  

Cours

Semestre de printemps
2 heures par semaine
28 heures par semestre
Hebdomadaire
Langue(s) d'enseignement: français
Public: Oui
Crédits: 2.00, 3.00

Objectif

- Se familiariser avec les notions d'infini, de limites, de continuité et de divisibilité, et comprendre certains de leurs liens,
- Prendre conscience que ces notions apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques,
- Comparer la taille de certains ensembles infinis et découvrir la notion d'infini dénombrable,
- Constater que les raisonnements infinitésimaux sont la base du calcul différentiel et intégral,
- Comprendre l'importance qu'a joué le concept de série (c'est-à-dire de limite d'une suite de sommes comprenant toujours plus de termes) dans le développement des mathématiques, des origines à nos jours, notamment pour approximer certaines fonctions ou pour résoudre certaines équations aux dérivées partielles,
- Découvrir les objets algébriques les plus simples que sont les groupes abéliens et certaines de leurs particularités,
- Explorer la notion de divisibilité dans les groupes abéliens,
- Définir la notion de limite (directe) en théorie des groupes abéliens,
- Exercer sa curiosité avec des notions algébriques simples qui permettent d'illustrer des problèmes très surprenants ; en particulier découvrir des exemples d'affirmations qui ne sont pas vraisemblables, mais qui sont vraies.

Contenu

Le cours sera composé de cinq chapitres :
- Éléments de théorie des ensembles et de théories des nombres. L'idée d'infini apparaît dès que l'on compte à l'aide de l'ensemble des nombres entiers positifs, mais les premières surprises arrivent lorsque l'on pense à deux ensembles de nombres qui ont la même taille, mais dont l'un est une partie de l'autre, ou lorsque l'on compare les ensembles des nombres entiers, des nombres rationnels et des nombres réels, à la lumière de la notion d'un ensemble infini dénombrable.
- Les fondements du calcul différentiel et intégral. Pour apprécier la quête de l'infini en mathématiques, il faut comprendre en profondeur la notion de limite d'une fonction (ou d'une suite) qui est au coeur de la découverte du calcul différentiel et intégral. Cela permet de traiter des exemples étonnants d'intégrales impropres.
- Les séries. Les développements du calcul différentiel et intégral ont été construits sur la notion d'infiniment petit et sur le concept de séries. L'objectif est de définir les séries et de montrer à quel point elles sont devenues un outil extrêmement puissant pour explorer de nombreuses autres notions mathématiques et pour résoudre plusieurs grands problèmes scientifiques. Cela est illustré par les séries de Taylor, qui fournissent d'excellentes approximations de nombres ou de fonctions, et par les séries de Fourier dont l'utilité est illustrée par la résolution de l'équation de la chaleur.
- La théorie des groupes abéliens. La notion algébrique la plus simple est celle de groupe abélien. Il s'agit de découvrir les bases de cette théorie et d'exercer sa curiosité en observant des groupes abéliens très simples qui possèdent des propriétés étranges en matière de divisibilité.
- La limite directe en théorie des groupes abéliens. La construction de la limite directe d'un système direct de groupes abéliens permet de construire de nouveaux groupes abéliens (très grands) et d'y découvrir des phénomènes vraiment surprenants.

Evaluation

Contrôle continu sous la forme de deux tests de connaissance (60 minutes).

Bibliographie

Jean-Michel Kantor et Loren Graham : Au nom de l'infini, une histoire vraie de mysticisme religieux et de création (Pour la science, 2010) Ernst Hairer and Gerhard Wanner : Analysis by its history (Springer, 1996) Franck Ayres and Philip A. Schmidt : Mathématiques de base, cours et problèmes (Série Schaum, McGraw Hill, 1993) Jean Combes : Suites et séries (PUF, 1982) Mohammed El Amrani : Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions (Ellipses, 2011) Lennart Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein : Pi : a source book (Springer, 1997) Derek J.S. Robinson : A course in the theory of groups (Springer, 1982) Joseph J. Rotman : An introduction to the theory of groups, fourth edition (Springer, 1995) László Fuchs : Infinite abelian groups, Volume I (Academic Press, 1970) Paul Moritz Cohn : Algebra I (John Wiley, 1974) Nathan Jacobson : Basic Algebra I, second edition (Freeman, 1985) Serge Lang : Algebra, 3rd edition (Springer, 2002)

Exigences du cursus d'études

Aucun, si ce n'est les connaissances de base en mathématiques correspondant au niveau de la maturité gymnasiale.
Ce cours peut être suivi de manière complètement indépendante de l'enseignement de mathématiques donné dans le cadre du programme "Sciences au carré" au semestre d'automne et consacré à "L'aventure des nombres entiers".

PARTICULARITÉ DANS LES INSCRIPTIONS
Les étudiant·e·s de la faculté des HEC qui désirent suivre un enseignement Sciences au carré doivent s'inscrire auprès de leur faculté et informer par mail le secrétariat du Collège des Sciences à l'adresse : cecile.roy@unil.ch
ATTENTION : L'information par mail ne fait pas office d'inscription!

Conditions d'octroi

NB: Les crédits correspondants à cet enseignement ne peuvent pas être validés pour les étudiant·e·s de FGSE

Informations supplémentaires

https://moodle.unil.ch/course/view.php?id=18749

UtilisationCode facultéStatutCrédits
"Sciences des religions" 60 crédits ECTS, 2ème partie (2013 ->) ›› Divers - ATT-SR-2-5040Optionnel3.00
"Sciences des religions" 60 crédits ECTS, 2ème partie (2017 ->) ›› Divers - ATT60-SR-2-5040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en Sciences des religions, 1ère année (2013 ->) ›› Divers - BA-SR-1-4040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en Sciences des religions, 2ème et 3ème année (2013 ->) ›› Divers - BA-SR-2-5040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en sciences des religions, 1ère année (2017 ->) ›› Divers - BA-SR-1-4040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en sciences des religions, 2ème et 3ème année (2017 ->) ›› Divers - BA-SR-2-5040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en sciences sociales, 2ème partie (2013 ->) ›› Sous-module sciences sociales : cours à choix, majeure sciences sociales, 2e partieOptionnel3.00
Biologie - Etape 2 : Modules 2 à 7 : 2e et 3e années (2012 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Mineure en physiologie SSP, 2ème partie (2016 ->) ›› Enseignements optionnelsOptionnel2.00
Mineure en psychologie et ouverture à l'interdisciplinarité, 2e partie (2011 ->) ›› Sous-module regroupements disciplinaires Sciences physiques, Sciences de la vie, mineure en psychologie et ouverture à l'interdisciplinarité, 2e partieOptionnel3.00
Mineure en sciences des religions, 2ème partie (2013 ->) ›› Divers - MIN-SR-2-5040Optionnel3.00
Mineure en sciences des religions, 2ème partie (2017 ->) ›› Divers - MIN-SR-2-5040Optionnel3.00
Mineure psychologie et sciences humaines, 2e partie (2005 ->) ›› Sous-module 1, module enseignements à choix, mineure en psychologie et sciences humaines, 2e partieOptionnel3.00
Mineure « Religions, langue et textes », 2ème partie (2013 ->) ›› Divers - MIN-RLT-2-3040Optionnel3.00
Mineure « Religions, langue et textes », partie propédeutique (2013 ->) ›› Divers - MIN-RLT-1-3040Optionnel3.00
Programme à option "transitoire", 2ème partie (2013 -> 2020) ›› Sciences au carré - BA-OP-SC2-TOptionnel3.00
Programme à options, 2ème partie (2013 ->) ›› Sciences au carré - BA-OP-SC2Optionnel3.00
Préalable Master Biologie médicale (1971 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Préalable Master Comportement, Evolution et Conservation (2004 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Préalable Master Sciences moléculaires du vivant (2011 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Préalable à la Maîtrise universitaire en Sciences des religions (2017 ->) ›› DiversOptionnel3.00
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