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Fiche de cours

La quête de l'infini en mathématiques

The quest for the infinity in mathematics

Faculté de gestion: Sciences au carré

Responsable(s): Dominique Arlettaz

Période de validité: 2017 ->

Horaires du cours (Hebdomadaire)

Date Lieu Remarque Thématique Intervenant(s)
2019/2020 : Vendredi 10:15-12:00 (Hebdomadaire) Anthropole/3068     Audrey Loetscher

Cours-Séminaire

Semestre de printemps
2 heures par semaine
28 heures par semestre
Hebdomadaire
Langue(s) d'enseignement: français
Public: Oui
Crédits: 2.00, 3.00

Objectif

- Se familiariser avec les notions d'infiniment grand, d'infiniment petit et de limites,
- Donner une définition rigoureuse de cette notion de limite si souvent utilisée et pourtant difficile à cerner,
- Constater que les raisonnements infinitésimaux sont la base du calcul différentiel et intégral et, plus largement, que les notions de limite et d'infini interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques,
- Comprendre l'importance qu'a joué le concept de série (c'est-à-dire la limite d'une suite de sommes comprenant toujours plus de termes) dans le développement des mathématiques, des origines à nos jours,
- Découvrir les éléments les plus simples de l'algèbre que sont les groupes abéliens et certaines de leurs particularités,
- Exercer sa curiosité avec des notions algébriques simples qui permettent d'illustrer des problèmes très surprenants ; en particulier découvrir des exemples d'affirmations vraies qui ne sont pas vraisemblables.

Contenu

Le cours sera composé de trois chapitres :
- Les limites. Pour comprendre la quête de l'infini en mathématiques, il faut s'approprier la notion de limite. Le premier chapitre traitera la notion de limite de suites, de limite de fonctions, et les intégrales impropres.
- Les séries. Au 17ème et au 18ème siècles, les développements du calcul différentiel et intégral ont été construits sur la notion d'infiniment petit et sur le concept de séries. Le deuxième chapitre définira les séries et montrera à quel point elles sont devenues un outil extrêmement puissant pour comprendre de nombreuses autres notions mathématiques et pour résoudre plusieurs grands problèmes scientifiques.
- Les limites en théorie des groupes. La notion algébrique la plus simple est celle de groupe abélien. Le troisième chapitre permettra de se familiariser avec cette notion, d'exercer sa curiosité sur certains groupes très simples qui possèdent cependant des propriétés étonnantes. Enfin, il introduira la notion de limites directes de groupes abéliens qui permet de découvrir des phénomènes vraiment surprenants en matière de divisibilité.

Evaluation

- Contrôle continu sous la forme de deux tests de connaissance (60 minutes),
- Un exposé de séminaire portant sur le compte-rendu de la lecture d'une partie d'un ouvrage en lien avec le sujet du cours ou sur tout autre sujet déterminé d'entente entre l'étudiant et l'enseignant.

Bibliographie

Jean-Michel Kantor et Loren Graham : Au nom de l'infini, une histoire vraie de mysticisme religieux et de création (Pour la science, 2010)

Ernst Hairer and Gerhard Wanner : Analysis by its history (Springer, 1996)

Franck Ayres and Philip A. Schmidt : Mathématiques de base, cours et problèmes (Série Schaum, McGraw Hill, 1993)

Jean Combes : Suites et séries (PUF, 1982)

Mohammed El Amrani : Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions (Ellipses, 2011)

Lennart Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein : Pi : a source book (Springer, 1997)

Derek J.S. Robinson : A course in the theory of groups (Springer, 1982)

Joseph J. Rotman : An introduction to the theory of groups, fourth edition (Springer, 1995)

László Fuchs : Infinite abelian groups, Volume I (Academic Press, 1970)

Paul Moritz Cohn : Algebra I (John Wiley, 1974)

Nathan Jacobson : Basic Algebra I, second edition (Freeman, 1985)

Serge Lang : Algebra, 3rd edition (Springer, 2002)

Exigences du cursus d'études

Aucun, si ce n'est les connaissances de base en mathématiques correspondant au niveau de la maturité gymnasiale.
Ce cours peut être suivi de manière complètement indépendante du premier enseignement de mathématiques donné dans le cadre du programme "Sciences au carré" au semestre d'automne.

Conditions d'octroi

NB: Les crédits correspondants à cet enseignement ne peuvent pas être validés pour les étudiant·e·s de FGSE

UtilisationCode facultéStatutCrédits
"Sciences des religions" 60 crédits ECTS, 2ème partie (2013 ->) ›› Divers - ATT-SR-2-5040Optionnel3.00
"Sciences des religions" 60 crédits ECTS, 2ème partie (2017 ->) ›› Divers - ATT60-SR-2-5040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en Sciences des religions, 1ère année (2013 ->) ›› Divers - BA-SR-1-4040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en Sciences des religions, 2ème et 3ème année (2013 ->) ›› Divers - BA-SR-2-5040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en sciences des religions, 1ère année (2017 ->) ›› Divers - BA-SR-1-4040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en sciences des religions, 2ème et 3ème année (2017 ->) ›› Divers - BA-SR-2-5040Optionnel3.00
Baccalauréat universitaire en sciences sociales, 2ème partie (2013 ->) ›› Sous-module sciences sociales : cours à choix, majeure sciences sociales, 2e partieOptionnel3.00
Biologie - Etape 2 : Modules 2 à 7 : 2e et 3e années (2012 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Mineure en physiologie SSP, 2ème partie (2016 ->) ›› Enseignements optionnelsOptionnel2.00
Mineure en psychologie et ouverture à l'interdisciplinarité, 2e partie (2011 ->) ›› Sous-module regroupements disciplinaires Sciences physiques, Sciences de la vie, mineure en psychologie et ouverture à l'interdisciplinarité, 2e partieOptionnel3.00
Mineure en sciences des religions, 2ème partie (2013 ->) ›› Divers - MIN-SR-2-5040Optionnel3.00
Mineure en sciences des religions, 2ème partie (2017 ->) ›› Divers - MIN-SR-2-5040Optionnel3.00
Mineure psychologie et sciences humaines, 2e partie (2005 ->) ›› Sous-module 1, module enseignements à choix, mineure en psychologie et sciences humaines, 2e partieOptionnel3.00
Mineure « Religions, langue et textes », 2ème partie (2013 ->) ›› Divers - MIN-RLT-2-3040Optionnel3.00
Mineure « Religions, langue et textes », partie propédeutique (2013 ->) ›› Divers - MIN-RLT-1-3040Optionnel3.00
Programme à option "transitoire", 2ème partie (2013 ->) ›› Sciences au carré - BA-OP-SC2-TOptionnel3.00
Programme à options, 2ème partie (2013 ->) ›› Sciences au carré - BA-OP-SC2Optionnel3.00
Préalable Master Biologie médicale (1971 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Préalable Master Comportement, Evolution et Conservation (2004 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Préalable Master Sciences moléculaires du vivant (2011 ->) ›› Module 7 : enseignements optionnels de 2e et 3e annéesOptionnel2.00
Préalable à la Maîtrise universitaire en Sciences des religions (2013 ->) ›› DiversOptionnel3.00
Préalable à la Maîtrise universitaire en Sciences des religions (2017 ->) ›› DiversOptionnel3.00
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